WisFaq!

Vergelijking met hogere machten oplossen met ontbinden in factoren

Beste,

Ik heb een opdracht gekregen en snap er niks van. Zou er iemand me een hulplijn kunnnen geven a.u.b. Het onderwerp gaat over vergelijkingen oplossen van hogere machten door te onbinden in factoren!

Dit zijn de oefeningen:

1. 4-12x+9x²=0
2. 5x²+8=0
3. 4(x-2)²-9=0
4. x³-3x-3x²+9=0

Alvast bedankt

Kaatje
12-2-2015

Antwoord

Als je vergelijkingen op wilt lossen met ontbinden in factoren dan is kennis omtrent bijvoorbeeld de product-som-methode voor tweedegraadsvergelijkingen wel handig. Ook kennis omtrent de merkwaardige producten is ook handig. Dat kan je natuurlijk allemaal opzoeken!

I.
4-12x+9x²=0
Ik wil hier (als het kan) iets van maken als:
(...-...)²=0
Dat blijkt te kunnen!
Gebruik daarbij (a-b)²=a²-2ab+b²
(2-3x)²=0
2-3x=0
3x=2
x=$\frac{2}{3}$
Opgelost!

II.
5x²+8=0
Hier valt weinig te ontbinden in factoren. De vergelijking heeft geen oplossingen!

III.
4(x-2)²-9=0
Deze vergelijking kan je zonder ontbinden oplossen:
4(x-2)²=9
(x-2)²=$\frac{9}{4}$
x-2=$-\sqrt{\frac{9}{4}}$ of x-2=$\sqrt{\frac{9}{4}}$
x-2=-1$\frac{1}{2}$ of x-2=1$\frac{1}{2}$
x=$\frac{1}{2}$ of x=3$\frac{1}{2}$

Wil je deze vergelijking toch oplossen met ontbinden in factoren dan zit er weinig anders op dan de haakjes weg te werken en dat verder te ontbinden...

4(x-2)²-9=0
4(x²-4x+4)-9=0
4x²-16x+16-9=0
4x²-16x+7=0
(2x-1)(2x-7)=0
2x-1=0 of 2x-7=0
2x=1 of 2x=7
x=$\frac{1}{2}$ of x=3$\frac{1}{2}$

IV.
x³-3x²-3x+9=0
Je kunt (met wat zoeken!) er achter komen dat x=3 een oplossing is van deze vergelijking. Als je dat weet dan kan je deze vergelijking schrijven als:
(x-3)(....)=0
Met wat speurwerk:
x³-3x²-3x+9=0
(x-3)(x²-3)=0
x=3 of x=$-\sqrt{3}$ of x=$\sqrt{3}$

Zoiets moet het zijn! Hopelijk helpt dat.

WvR
12-2-2015