WisFaq!

Volledigheid

Hallo,

Hoe dien je aan te tonen dat elke eindigdimensionale ruimte volledig is? Hiermee bedoelen we dat elke Cauchyrij in deze ruimte ook een convergente rij is...
Alvast bedankt

Jolien
25-12-2014

Antwoord

Het hangt er een beetje van af wat je voorkennis is, maar voor $\mathbb{R}^n$ gaat het als volgt: als $(x_n)_n$ een Cauchy-rij is dan is elke coordinaatrij $(x_{n,i})_n$ het ook, voor elke $i$ bestaat de limiet $\lim_n x_{n,i}$ dus, noem deze $y_i$. Vervolgens bewijs je dat $\lim_n x_n=y$.
Voor het algemene geval: een eindig-dimensionale vectorruimte is isomorf met een $\mathbb{R}^n$; de norm is dan equivalent met de gewone norm op die $\mathbb{R}^n$ en daaruit volgt dat die norm ook volledig is.

kphart
26-12-2014