WisFaq!

Goniometrisch bewijs

Hallo,
Hoe bewijs je dat:
cos²(x)+sin²(y)= 1-sin(x+y)·sin(x-y)
Dank je.

beyza
9-12-2014

Antwoord

Met de somformules gaat dat zo:

$
\eqalign{
& \cos ^2 \left( x \right) + \sin ^2 \left( y \right) = 1 - \sin (x + y)\sin (x - y) \cr
& \cos ^2 \left( x \right) + \sin ^2 \left( y \right) = 1 - \left( {\sin (x)\cos (y) + \cos (x)\sin (y)} \right)\left( {\sin (x)\cos (y) - \cos (x)\sin (y)} \right) \cr
& \cos ^2 \left( x \right) + \sin ^2 \left( y \right) = 1 - \left( {\sin (x)^2 \cos ^2 (y) - \cos ^2 (x)\sin ^2 (y)} \right) \cr
& \cos ^2 \left( x \right) + \sin ^2 \left( y \right) = 1 - \left( {\left( {1 - \cos ^2 (x)} \right)\cos ^2 (y) - \cos ^2 (x)\left( {1 - \cos ^2 (y)} \right)} \right) \cr
& \cos ^2 \left( x \right) + \sin ^2 \left( y \right) = 1 - \left( {\cos ^2 (y) - \cos ^2 (x)\cos ^2 (y) - \cos ^2 (x) + \cos ^2 (x)\cos ^2 (y)} \right) \cr
& \cos ^2 \left( x \right) + \sin ^2 \left( y \right) = 1 - \left( {\cos ^2 (y) - \cos ^2 (x)} \right) \cr
& \cos ^2 \left( x \right) + \sin ^2 \left( y \right) = 1 - \left( {1 - \sin ^2 (y) - \cos ^2 (x)} \right) \cr
& \cos ^2 \left( x \right) + \sin ^2 \left( y \right) = \sin ^2 (y) + \cos ^2 (x) \cr}
$

Helpt dat?

Naschrift

Wat heb je nodig?

$
\eqalign{
& \sin ^2 (x) + \cos ^2 (x) = 1 \cr
& \sin (x + y) = \sin (x)\cos (y) + \cos (x)\sin (y) \cr
& \sin (x - y) = \sin (x)\cos (y) - \cos (x)\sin (y) \cr}
$

Aanpak?

Probeer (bijvoorbeeld) om de 'sinussen' uit te drukken in 'cosinussen'. Misschien valt er dan wel van alles weg. Zou kunnen...

• Zie ook Goniometrische identiteit

WvR
9-12-2014