WisFaq!

Een bewijs geven (algemeen en toepassing)

Bewijs voor een $\Delta$ABC:
2a²=b²+c²
2za²=zb²+zc² (z=zwaartelijn)
Bewijs voor zo'n driehoek:
za=1/2 · a · √3
zb=1/2 · c · √3
zc=1/2 · b · √3

Imane Zaghbouji
27-10-2014

Antwoord

Dag Imane,
Met het gegeven dat 2a²2=b²2+c²2 kan je bewijzen dat geldt
za=1/2 · a · √3
zb=1/2 · c · √3
zc=1/2 · b · √3
Gebruik daarvoor de cosinusregel: a²+c²=b²+2ac*cos(B). Daarmee en het gegeven kan je cos(B) uitdrukken in b en c.
Nu kan je de driehoek in een assenstelsel plaatsen met b.v. A in de oorsprong en B in (c,0) .
Met behulp van die cosinus kan je nu de coordinaten van C ook uitdrukken in b en c.
De zwaartelijn snijdt AB in (c/2,0) En dan kan het niet zo moeilijk zijn de lengte van die zwaartelijn ook uit te drukken in b en c. Dan zal blijken dat hij inderdaad gelijk is aan 1/2 · b · √3.
Voor de andere zwaartelijnen laat ik het aan jou over. Succes,
Lieke.

ldr
28-10-2014