WisFaq!

Veeltermvergelijking

Een veelterm f(x) met gehele coëfficiënten en waarvan de coëfficiënt van x_n gelijk is aan 1, neemt de waarde 5 aan voor 4 verschillende gehele x-waarden. Bewijs dat de veelterm voor geen enkele gehele waarde ooit de waarde 8 bereikt.
Tip: bestudeer de nulpunten van g(x)=f(x)−5

Henk Debakker
10-9-2014

Antwoord

Vier x waarden zijn a,b,c,d. Los op g(x)=3

Welnu g(x)= (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)· restpolynoom = 3 (stel)
Aangezien x en coefficienten geheel zijn en dus alle factoren geheel zijn betekent dat dat (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = 3, -3, -1 of 1
Ook hier zijn alle factoren geheel. Levert in alle situaties een tegenspraak op met het gegeven dat alle 4 factoren en dus ook waarden a,b,c,d verschillend zijn. Want elk van de mogelijke uitkomsten bestaat uit maximaal 3 verschillende factoren. Dus uitkomst 3 is onmogelijk.

Met vriendelijke groet
JaDeX

jadex
11-9-2014