WisFaq!

Onderzoek naar een functie

Hallo, ik heb een functie f(x)$\to$(x²-3x-1)/x en ben bezig om een functieonderzoek te doen, maar bij bepaalde dingen kom ik er nog niet helemaal uit. En wil het graag begrijpen. Kunt u mij aub helpen? Ik kwam zelf tot:
Domein
x{¹}0

Bereik
$\mathbf{R}$

Nulpunten

Ik heb mbv de vierkantsvergelijking en de discriminant de nulpunten berekend, hieruit kreeg ik 2 x-waarden, dit klopt volgens mij wel, want D$>$0, dus reel en zal de vierkantsvergelijking 2 verschillende reële wortels hebben, namelijk x=3,303 en x =-0,303.
D$>$0 x-as in 2 verschillende punten nulpunten gesneden worden
Snijpunt y-as en x-as?

Extremen (maxima en minima)

D$>$0 2 snijpunten met de x-as
Ook volgens mij f(x)=ax²+bx+c a$>$0 a= 1 dus dan heb je een minimum, dit is dan een dalparabool.

Ook de afgeleide heb ik bepaald,f'(x)=(x²+1)/x²
Voor eventuele extremen moet ik f'(x)=0 stellen? Zo ja, hoe moet ik dat doen? Ik krijg namelijk dan: f(x)=(x²+1)/x²=0 als $<$0= 1+(1/x²)/1 vervolgens 1+(1/x²)=0, 1/x²=-1 en x²=1/-1 en x²+1=0 x²=-1.

Asymptoten (horizontale/schuine/verticale)

De tweede afgeleide f''(x)= -2/x³ hoe moet ik hiermee verder? En hoe doe ik de eventuele buigpunten? f''(x)=0 stellen?

Yvette
23-6-2014

Antwoord

Hallo

Het domein is $\mathbf{R}$\{0} en het bereik is $\mathbf{R}$

Nulpunten.
De nulpunten geven de snijpunten met de x-as, dus (-0.303,0) en (3.303,0)
Vermits x niet gelijk aan nul mag zijn (domein) is er geen snijpunt met de y-as.

Asymptoten.
Er is een verticale asymptoot x=0, vermits 0 een nulpunt is van de noemer.
Als x nadert naar 0 met x$>$0, zal y$\to$-$\infty$
Als x nadert naar 0 met x$<$0, zal y$\to$+$\infty$

De functie kun je schrijven als y = x -3 - ¹/_x, dus is
y = x-3 een schuine asymptoot, want -¹/_x wordt 0 als x$\to\infty$

Extreme waarden.
Vermits de afgeleide geen nulpunten heeft, zijn er geen extreme waarden.
Daar de eerste afgeleide steeds positief is, is de functie steeds stijgend.

Buigpunten.
De tweede afgeleide heeft geen nulpunten, dus zijn er geen buigpunten.

LL
23-6-2014