WisFaq!

Substitutiemethode

Hallo, ik ben aan het leren voor een tentamen. Nou dacht ik de substitutiemethode door te hebben maar ik ga telkens in de fout bij een wortel.

Voorbeeld:
f(x)= x√(x²-2)
u= x²-2
du/dx=2x
dx=du/2x
f(x)= x√u du/2x
f(x)= ¹/₂√u du
F(x)= ¹/₂√(x²-2) + C

Maar uit mijn antwoordenboek blijkt dit niet te kloppen. Daarbij moet t zijn F(x)=1/3(x²-2)√(x²-2) +C
Kan iemand mij uitleggen waarom dit dan zo is?

Alvast bedankt,
Ted

• Substitutiemethode

Ted Schulkes
22-6-2014

Antwoord

Je gaat te snel. Als je het 'standaardprotocol' volgt dan kan het eigenlijk niet mis gaan:

$
\begin{array}{l}
\int {x\sqrt {x^{2} - 2} \,dx = } \\
\int {\frac{1}{2}\sqrt {x^{2} - 2} \cdot 2x\,dx = } \\
\int {\frac{1}{2}\sqrt {x^{2} - 2} \cdot d\left( {x^{2} - 2} \right) = } \\
Met\,\,u = x^{2} - 2 \\
\int {\frac{1}{2}\sqrt u \cdot du = } \\
\frac{1}{3}u^{1\frac{1}{2}} + C = \frac{1}{3}u\sqrt u + C \\
Met\,\,u = x^{2} - 2 \\
\frac{1}{3}\left( {x^{2} - 2} \right)\sqrt {x^{2} - 2} + C \\
\end{array}
$

Toch?

PS
Ik heb in je vraag wel hier en daar wat haakjes gezet. Als je $\sqrt{x^{2}-2}$ wilt schrijven schrijf dan √(x²-2) met haakjes.

WvR
22-6-2014