WisFaq!

Middelwaardestelling

Beste,

Mijn vraag gaat zo : 2 auto's rijden op de snelweg in dezelfde richting, veronderstel dat ze op geen enkel tijdstip dezelfde snelheid rijden. Toon aan dat de auto's elkaar hoogstens 1 maal kunnen passeren.

Hoe toon ik dit aan? Ik weet dat het een logische veronderstelling is maar hoe los ik dit op adhv middelwaardestelling?

Mvg

Robin
1-6-2014

Antwoord

Bester Robin,

Laten we eens kijken naar de grafiek van de afstand op tijd en ervan uitgaan dat ze elkaar 2 maal passeren ( dus er zijn 2 snijpunten op deze grafiek)



De middelwaardestelling zegt ons dat ( indien aan de voorwaarde van continuiteit en differentieerbaarheid is voldaan) Maar hier wordt aan voldaan.
Dat er een punt c bestaat zodat:

$
f'(c) = \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}
$

Laten we de grafiek van auto 1 g(t) noemen en die van auto 2 h(t)

Dan geldt g(a)=h(a) en g(b)=h(b)
We bekijken nu de hulpfunctie:
f(t)=g(t)-h(t)

$
f'(c) = \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = \frac{{(g(b) - h(b)) - ((g(a) - h(a))}}{{b - a}} = 0
$

Maar ook:

$
f'(c) = g'(c) - h'(c) = 0 \Rightarrow g'(c) = h'(c)
$

Ervan uitgaande dat ze elkander 2 maal inhalen, dan is er dus een punt c waarvoor geldt dat de snelheid van beide auto's gelijk is. Dit is in tegenspraak met de conditie dat de snelheid op geen enkel punt gelijk mag zijn.

mvg DvL

DvL
1-6-2014