WisFaq!

De ellips

toon aan dat de ellips Eºx²/a²+y²/b²=1 juist vier punten P bezit waarvoor PF1 en PF2 loodrecht op elkaar staan als a$>$bÖ2.

Felix Van Wonterghem
21-5-2014

Antwoord

Als P(x,y) op de ellips ligt en PF₁ staat loodrecht op PF₂, dan is P óók gelegen op de cirkel met middelpunt O(0,0) en straal c.
Dit laatste is de stelling van Thales.
De vergelijking van die cirkel is x² + y² = c²
Bovendien is c² = a² - b² volgens de ellipseigenschappen.

Wanneer c (de cirkelstraal) te klein is, dan ligt hij helemaal binnen de ellips en heeft er dus niet 4 snijpunten mee. Pas als c$>$b is, krijg je 4 snijpunten en uit c² = a² - b² $>$ b² volgt a² $>$ 2b² en dus a $>$ bÖ(2)

Vergeet je voortaan niet ook even je eigen pogingen mee te sturen? Dan zien we welke kant we op moeten en wat je wel of niet weet.

MBL
22-5-2014