WisFaq!

Cross product: back to basics

als ik jullie vraag: stel voor mij een formule op met volgende eigenschap: zoek een vector die loodrecht op twee andere vectoren staat. Jullie zeggen allemaal: het cross product. Maar mijn vraag is : kan je dat bewijzen . Waarom vraag ik dat: ik las dat Gauss ' fundamentele vorm in diff meetkunde vond voor de "uitvinding " van cross product. VAndaar mijn vraag

jan
14-4-2014

Antwoord

Beste Jan,

Ja dat kan je bewijzen. Neem 2 willekeurige vectoren a en b. Bepaald het kruisproduct (vector c). Neem vervolgens a.c ( inproduct) en b.c. Indien beide 0 zijn staat c loodrecht op a en op b.

$
a = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{a_1 } \\
{a_2 } \\
{a_3 } \\
\end{array}} \right)
$

$
b = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{b_1 } \\
{b_2 } \\
{b_3 } \\
\end{array}} \right)
$

$
\begin{array}{l}
a \times b = c = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{a_2 b_3 - a_3 b_2 } \\
{a_3 b_1 - a_1 b_3 } \\
{a_1 b_2 - a_2 b_1 } \\
\end{array}} \right) \\
a.c = a_1 (a_2 b_3 - a_3 b_2 ) + a_2 (a_3 b_1 - a_1 b_3 ) + a_3 (a_1 b_2 - a_2 b_1 ) \\
a_1 a_2 b_3 - a_1 a_2 b_3 - a_1 a_2 b_2 + a_3 a_1 b_2 + a_2 a_3 b_1 - a_2 a_3 b_1 = 0 \\
\end{array}
$

zo ook b.c

mvg DvL

DvL
17-4-2014