WisFaq!

4x4 matrix

Vraag:

Bestaan er oneindig veel reële 4x4 matrices A die voldoen aan A⁵+A³-A²-I=0

met I de eenheidsmatrix en 0 de nulmatrix , beide van orde 4.

Ik zou niet weten hoe ik dit moet bewijzen/ontkrachten...

Alvast bedankt!

Dries
9-4-2014

Antwoord

Zonder te weten wat je hebt gehad of wat je hebt geprobeerd zou ik ook niet weten hoe jij te werk zou moeten gaan.
Wat ik zou doen is ontbinden:
$$
A^5+A^3-A^2-I=(A-I)(A^2+I)(A^2+A+I)
$$
hieruit volgt dat $A$ de volgende potentiële eigenwaarden heeft: $1$, $i$, $-i$, $-\frac12+\frac12\sqrt3i$ en $-\frac12-\frac12\sqrt3i$. Omdat de matrix $4\times4$ is en eigenwaarden in complex geconjugeerde paren komen valt $1$ af.
Maak nu een blokmatrix $A$ met linksboven een $2\times2$-matrix met eigenwaarden $\pm i$ en rechtsonder eentje met eigenwaarden $-\frac12\pm\frac12\sqrt3i$ (de rest vul je met nullen).
Deze matrix voldoet en ook alle matrices van de vorm $PAP^{-1}$ met $P$ een inverteerbare $4\times4$-matrix.

kphart
11-4-2014