WisFaq!

exponentiele functies

Gegeven is de functie f: x (¹/₂)^x.
Los op: f(p) f(p² - 2) f(4p - 2).
Ik ben als volgt te werk gegaan.
(2¹/₂)^p (2¹/₂)^p² - 2 (2¹/₂)^4p - 2 is gelijk aan
p p² - 2 4p - 2 is gelijk aan

p p² -2 p - p² + 2 0

p² - 2 4p - 2 -4p + p²

p² - p - 2 0 (p - 2)(p + 1) 0

p(p - 4) 0 0 p 4

-1 p 2
0 p 2
0 p 4

Oplossingsverzamling = 0, 2

Graag zou ik weten of wat ik gedaan heb goed is ofdat ik bepaalde rekenkundinge regels heb overtreden. Mijn excuses voor iets onoverzichtelijke weergave maar weet niet hoe ik het duidelijker kan doen.

wouter
5-2-2003

Antwoord

In je eerste regel heb je als grondtal ¹/₂ staan, maar later wordt het ineens 2¹/₂. Omdat het voor de oplossing ervan afhangt of het grondtal onder of boven 1 ligt, moet je even nakijken wat je precies gevraagd wordt. Ik ga nu even uit van de keuze 2¹/₂.
Dan is de conclusie p < p² - 2 < 4p - 2 in orde. Als je grondtal tóch ¹/₂ moet zijn, dan moet je de kleiner-tekens allemaal omkeren, dus groter-tekens ervan maken.

Je zit nu met wat men wel noemt een gekoppelde of een geschakelde ongelijkheid, d.w.z. het zijn er twee tegelijk.
Er moet nu gelden: p < p² - 2 en tegelijkertijd p² - 2 < 4p - 2.
(net zoals 3 < 6 < 10 betekent 3 < 6 en óók 6 < 10)

Uit p < p² - 2 volgt p² - p - 2 > 0 ofwel (p - 2)(p + 1) > 0 ofwel [ p < -1 óf p > 3] (Hint: schets de parabool y = (p - 2)(p + 1))

Uit p² - 2 < 4p - 2 volgt p² - 4p < 0 ofwel p(p - 4) < 0
ofwel 0 < p < 4 (alweer:maak een schetsje!)

Nu moeten de twee afzonderlijke resultaten tegelijkertijd gelden. Je vindt: 2 < p < 4
(dit kun je het beste zien met twee lijntjes onder elkaar waar je de twee afzonderlijke resultaten op aangeeft).

Je kunt ook grafisch te werk gaan. Je tekent in 1 figuur de grafieken van de functies y = p en y = p² - 2 en y = 4p - 2. Dan moet je kijken wanneer de middelste grafiek zich tussen de twee andere bevindt.

MBL
5-2-2003