WisFaq!

Lineaire DV 2e orde

Beste, ik zit met een probleem aangaande volgende DV.
y"-6y'+9y=e^2x.
Deze DV heeft als oplossing
y=e^3x(C1x + C2) + e^2x.
Het eerste deel lukt om te berekenen.
Dat doe ik via deze weg:
y"-6y'+9y=0 wordt (D²-6D+9)y=0
dan bekom ik (D-3)²y=0 en levert een wortel 3 op.
Dan moet ik de zogenaamde Q(x) gaan bepalen en daar loopt het mis.
Hoe weet ik welke coef. hier moeten voorgezet worden?

Dacht aan y=ae

Ik weet dat y= x^k-1.e^cx een oplossing is van (D-c)^ky=0.
k=2 van de opgave dus krijg ik

y=xe^3x want c=3.

DAn bepalen van y, y' en y" en invullen in de opgave. maar ik kom dan totaal iets anders uit.
Weten jullie hiermee raad?

groetjes
K

kris
5-3-2014

Antwoord

Beste Kris,
voor de particuliere oplossing zou ik y=Ae^2x nemen.

$
\begin{array}{l}
y'' - 6y' + 9y = e^{2x} \\
y = e^{rx} \;y' = re^{rx} \;y'' = r^2 e^{rx} \\
y'' - 6y' + 9y = 0 \\
e^{rt} (r^2 - 6r + 9) = 0 \Rightarrow r = 3 \\
y_h = c_1 e^{3x} + c_2 xe^{3x} \\
voor\,y_p \,neem\;Ae^{2x} \\
y = Ae^{2x} \\
y' = 2Ae^{2x} \\
y'' = 4Ae^{2x} \\
e^{2x} (4A - 12A + 9A) = e^{2x} \\
Ae^{2x} = e^{2x} \Rightarrow A = 1 \Rightarrow y_p = e^{2x} \\
y = y_h + y_p = c_1 e^{3x} + c_2 xe^{3x} + e^{2x} \\
\end{array}
$

mvg DvL

DvL
5-3-2014