WisFaq!

Binomiaalgetallen 5

Toon aan dat
C(n,0) + C(n,2) + C(n,4)+... = C(n,1) + C(n,3) + C(n,5) + ...
Dus waarschijnlijk:
C(n,0) - C(n,1) + C(n,2) - C(n,3) + C(n,4) + ... = 0
Wat lijkt op de vorm:
C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + ... C(n,n) = 2ⁿ
Hoe dien ik om te gaan met het minteken?

Maarten
24-2-2014

Antwoord

Voor een deelverzameling $A$ van $\{1,\dots,n\}$ definieren we
$$
A' = A\setminus\{1\} \mbox{ als } 1\in A
$$ en
$$
A' = A\cup\{1\} \mbox{ als } 1\notin A
$$
Merk op: $A\mapsto A'$ is een bijectie van de familie deelverzamelingen naar zichzelf, en: $A$ heeft een even aantal elementen dan en slechts dan als $A'$ een oneven aantal elementen heeft. Dus: $\{1,\dots,n\}$ heeft even veel deelverzamelingen met een even aantal elementen als deelverzamelingen met een oneven aantal elementen en dat bewijst de gelijkheid uit de vraag.

kphart
24-2-2014