WisFaq!

Re: Re: Re: Binomiaalgetallen 4

Kijk...ik probeer nu hetzelfde met
C(n,p) = C(n-3,p) + 3·C(n-3,p-1)+3·C(n-3,p-2)+C(n-3,p-3)

dus als ik hier als gemeenschappelijke factor (y)= (n-3)!/((n-p)!p!) onttrek dan wordt de resterende bewerking toch vrij complex nee? y·[(n-p)(n-p-1)(n-p-2)+3(n-p)(n-p-1)p+(p-2)(p-1)p]..
Ik kan me nu niet echt voorstellen dat het de bedoeling is om dit uit te rekenen. Ik heb blijkbaar een totaal gebrek aan inzicht :)

Maarten
19-2-2014

Antwoord

Je bent de term 3·(n - p)·(p - 1)·p vergeten! Als je die er bij zet dan klopt het precies!

$
\begin{array}{l}
\frac{{(n - 3)!}}{{\left( {n - p - 3} \right)! \cdot p!}} + 3\frac{{(n - 3)!}}{{\left( {n - p - 2} \right)! \cdot (p - 1)!}} + 3\frac{{(n - 3)!}}{{\left( {n - p - 1} \right)! \cdot (p - 2)!}} + \frac{{(n - 3)!}}{{\left( {n - p} \right)! \cdot (p - 3)!}} \\
\frac{{(n - 3)!}}{{(n - p)! \cdot p!}}\left\{ {(n - p - 2)(n - p - 1)(n - p) + 3(n - p - 1)(n - p)p + 3(n - p)(p - 1)p + (p - 2)(p - 1)p} \right\} \\
\frac{{(n - 3)!}}{{(n - p)! \cdot p!}}\left\{ {n^3 - 3n^2 + 2n} \right\} \\
\frac{{(n - 3)!}}{{(n - p)! \cdot p!}}\left\{ {n(n - 1)(n - 2)} \right\} \\
\frac{{(n)!}}{{(n - p)! \cdot p!}} \\
\end{array}
$

Dat gebrek aan inzicht valt reuze mee:-)

PS
Ik weet ook niet precies of dit nu de bedoeling is van deze opdrachten. In de driehoek van Pascal zijn die 'dingen' gemakkelijk te controleren. Is dat een bewijs? Misschien doe we toch iets fout... ook al vind ik het wel amusant. Ik meen me wel vaag te herinneren dat je ook iets zou kunnen doen met de driehoek van Pascal en de basisformule. Ik denk er nog over na...

WvR
19-2-2014