WisFaq!

Ordes van elementen

Beste,

Stel dat er in de groep G,* een element bestaat zodat er een k bestaat zodat a^2k gelijk is aan het neutraal element. Hoe kan je dan aantonen dat er een element in deze groep bestaat met orde twee?

Ik dacht hierbij gebruik te maken van het lemma dt zegt dat als a^k gelijk is aan het neutraal element, dan is de orde van a een deler van k.
Ik weet hiermee wel reeds dat de orde van de groep even zal zijn, aangezien de orde van a een deler 2^k is en dus even is. Via de stelling van Lagrange weet ik dan ook dat de orde van de groep even is... en het is dus MOGELIJK dat er een element met orde twee bestaat... Maar toch kan ik dit jammer genoeg niet bewijzen. Kan u uitleggen hoe je dit verder moet aanpakken?
Alvast bedankt!

Jolien
19-1-2014

Antwoord

Denk aan machtsverheffen: $a^{2^k}=a^{2^{k-1}\times2}=(a^{2^{k-1}})^2$. Dus als $k$>$0$ (wat neem ik aan gegeven is) dan staat daar het gezochte element.

kphart
19-1-2014