WisFaq!

Primitiveren van wortelvormen

Hoe primitiveer je $
y = \sqrt {3 - x^2 }
$?

• Primitiveren van wortelvormen

Maaike
13-1-2014

Antwoord

Beste Maaike,
Ik zal degene die hierboven staat voordoen, maar het is echt een hels karwei.
Je moet heel veel kennis hebben van goniometrie om deze op te lossen en ik hoop echt dat je hem niet op je proefwerk of zo krijgt. Maar het is wel leuk om een keer te zien wellicht, dus vandaar..

$
\begin{array}{l}
\int {\sqrt {3 - x^2 } dx} \\
x = \sqrt 3 .\sin (a) \Rightarrow \frac{{dx}}{{da}} = \sqrt 3 \cos (a) \\
dx = \sqrt 3 \cos (a).da \\
\int {\sqrt {3 - x^2 } dx} = \int {\sqrt {3 - 3\sin ^2 (a)} .\sqrt 3 \cos (a).da} \\
\int {\sqrt {3(1 - \sin ^2 (a)} .} \sqrt 3 \cos (a).da \\
\int {\sqrt {3\cos ^2 (a)} .} \sqrt 3 \cos (a).da = 3\int {\cos ^2 (a).da} \\
3\int {\cos ^2 (a).da} = \frac{3}{2}\int {\cos (2a) + 1.da} \\
\frac{3}{2}[\frac{1}{2}\sin (2a) + a] \\
x = \sqrt 3 .\sin (a) \Rightarrow \sin (a) = \frac{x}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow a = \arcsin (\frac{x}{{\sqrt 3 }}) \\
\frac{3}{2}[\frac{1}{2}\sin (2a) + a] = \frac{3}{2}(\sin (a).\cos (a) + \arcsin (\frac{x}{{\sqrt 3 }})) \\
\sin (a) = \frac{x}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \cos (a) = \frac{{\sqrt {3 - x^2 } }}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \sin (a).\cos (a) = \frac{{x\sqrt {3 - x^2 } }}{3} \\
\frac{3}{2}(\sin (a).\cos (a) + \arcsin (\frac{x}{{\sqrt 3 }})) = \frac{{x\sqrt {3 - x^2 } }}{2} + \frac{3}{2}\arcsin (\frac{x}{{\sqrt 3 }}) \\
\end{array}
$

Mvg DvL

DvL
13-1-2014