WisFaq!

Partiële integratie

Wanneer gebruik je partiële integratie?
Ik kan nooit een onderscheid maken in substitutie of partiële integratie bij het zien van een oefening

paulien huyghe
7-1-2014

Antwoord

Beste Paulien,

Hier is geen wet van meden en perzen, maar over het algemeen kies je een substitutie als hiermee een hoop termen of moeilijke vormen wegvallen.

Je kiest vaak partiele integratie als de integraal de vorm heeft van:
$
\int {h(x).f(x).dx}
$

Dus in zekere zin de vorm van een functie maal een functie. Je kiest dan een handige functie als zijnde een afgeleide.

Hieronder het bewijs en een voorbeeld.

bewijs:
$
\begin{array}{l}
f.g)' = f'.g + g'.f \\
\int {(f.g)'dx = \int {(f'.g + g'.f} } )dx \\
\int {(f.g)'dx = \int {f'.g.dx + \int {g'f.dx} } } \\
f.g = \int {f'.g.dx + \int {g'f.dx} } \\
f.g - \int {f'.g.dx} = \int {g'f.dx} \\
\end{array}
$

voorbeeld:
$
\begin{array}{l}
\int {\cos (x).x.dx} = \int {g'f.dx} \\
g = \sin (x) \\
f = x \to f' = 1 \\
\int {\cos (x).x.dx} = \sin (x).x - \int {\sin (x)dx = \sin (x).x - \cos (x) + c} \\
\end{array}
$

Maar het blijft een kwestie van puzzelen en proberen.

mvg DvL

DvL
7-1-2014