WisFaq!

Determinanten

Beschouw een functie A: R$\to$R^(n·n): t$\to$A(t). Voor elke t $\in$ R is A(t) dus een (n·n)-matrix waarvan de matrixelementen, we noteren ze met a_i,j(t) (met i,j= 1,...,n) van t afhangen. Met de functie A corresponderen er dus (n·n) functies a_i,j: R$\to$R.We nemen aan dat elk van die functies afleidbaar is. Beschouw nu de functie D: R$\to$R: t$\to$D(t) = det(A(t)). Toon aan dat voor alle t$\in$ R geldt dat:
D'(t) = det(a'_1,1... a'_i,n
a_2,1...a_2,n
. .
a_n,1...a_n,n)
+det(a_1,1... a_1,n
a'_2,1....a'_2,n
. .
a_n,1.... a_n,n)
+...
+det(a_1,1...a_1,n
a_2,1....a_2,n
. .
a'_n,1...a'_n,n)

Emma
2-1-2014

Antwoord

Dit bewijs je met behulp van de productregel voor differentieren.

Probeer eerst eens de gevallen $n=2$ en $n=3$ helemaal uit te schrijven om te zien hoe de gevraagde regel er uit ziet en gebruik de ontwikkel-definitie van de determinant.

Een net bewijs gaat met behulp van volledige inductie en door, bijvoorbeeld, naar de eerste rij te ontwikkelen.

kphart
3-1-2014