Er geldt:
Voor alle x$>$0 geldt dat x - x3/6 $\le$ sin(x)
Via Taylor:
neem f(x)=sin(x)
x0=0
Nu is
sin(x) = x - x3 + R4(x,c)
met R4(x,c) de sluitterm van de vierde orde.
R4(x,c) = sin(c).x4/4!
voor een zeker punt c tussen 0 en x.
als 0$<$x$\le\pi$, dan 0$<$c$<\pi$ en R4(x,c) $>$0, dus x-x3/6 $\le$ sin(x)
maar als x$>\pi$, dan kan de sluitterm toch kleiner worden als 0, namelijk als $\pi<$c$<$2$\pi$
en dan klopt de uitspraak toch niet meer?
waar zit ik fout?
alvast bedankt!Dvdrlind
25-12-2013
Er staat ook "een zeker punt tussen $0$ en $x$"; als $x > \pi$ dan hoeft niet noodzakelijk $c > \pi$ te gelden. Probeer maar eens passende $c$s te vinden bij $x=\pi$, $x=\frac32\pi$ en $x=2\pi$.
Overigens: als $x\ge\pi$ dan is $x-\frac16x^3$ kleiner dan $-1$ en dus zeker kleiner dan $\sin x$.
kphart
25-12-2013
#71740 - Functies en grafieken - Student universiteit België