WisFaq!

Limiet sinusfunctie

Ik heb volgende limiet:

$
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \large\frac{1}{{\sin ^2 x}} - \frac{1}{{x^2 }}
$

Als ik deze op dezelfde noemer plaats bekom ik 0/0, dus zou ik Hôpital kunnen gebruiken, maar dit leidt echt nergens toe.

Louis
22-12-2013

Antwoord

Mooi idee. Gewoon volhouden...!:-)

$
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \large\frac{1}{{\sin ^2 x}} - \frac{1}{{x^2 }}
$

Eerst maar 's onder één noemer zetten:

$
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \large\frac{{x^2 - \sin ^2 x}}{{x^2 \sin ^2 x}}
$

Hôpital!?

$
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \large\frac{{2x - 2\sin x\cos x}}{{2x^2 \sin x\cos x + 2x\sin ^2 x}}
$

Leuk, maar 't helpt niks...
Nog maar een keer Hôpital dan?

$
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \large\frac{{4 - 4cos^2 x}}{{\left( {4x^2 - 2} \right)\cos ^2 x + 8x\sin x\cos x - 2x^2 + 2}}
$

Ook leuk, maar 't helpt niet, maar we houden vol!

$
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \large\frac{{8\sin x\cos x}}{{24x\cos ^2 x + \left( {12 - 8x^2 } \right)\sin x\cos x - 12x}}
$

...en wat denk je? 't Lijkt vrij hopeloos, maar geef nooit op!

$
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \large\frac{{16\cos ^2 x - 8}}{{\left( {48 - 16x^2 } \right)\cos ^2 x - 64x\sin x\cos x + 8x^2 - 24}}
$

Invullen van $x=0$ geeft:

$
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \large\frac{{16\cos ^2 x - 8}}{{\left( {48 - 16x^2 } \right)\cos ^2 x - 64x\sin x\cos x + 8x^2 - 24}} = \frac{8}{{24}} = \frac{1}{3}
$

...dus het kan wel..:-)

WvR
23-12-2013