WisFaq!

Inverse van cochleoide

We hebben gevonden dat de quadratix van hippias de inverse tov de oorsprong is van de cochleoide.

voor het inverse punt (u,v) is u=(k²x)/(x²+y²)
en is v=(k²y)/(x²+y²)

cartesiaanse cochleoide: (x²+y²)Bgtan(y/x)=ay
cartesiaanse quadratix: y=xcot(x/a)

Als we dan (u,v) invullen:

(k²x)/(x²+y²)=(k²y)/(x²+y²).cot((k²x)/a(x²+y²))
x/y=cot((k²x)/a(x²+y²))
Bgcot(x/y)=(k²x)/a(x²+y²)
Bgtan(x/y)=a(x²+y²)/(k²x)

dit zou moeten uitkomen op de cartesiaanse vgl van de cochleoide, maar dit is niet het geval. Vinden jullie waar de fout zit?

Dominique Van Gerwen
13-11-2013

Antwoord

Als je de beeldfiguur, dus de quadratrix, schrijft als v = u.cot(u/a) en je past hierop je inversieformules toe, dan vind je volgens mij ten slotte de vergelijking x = a/k².(x²+y²)arctan(x/y) en hier had jij meteen de vergelijking verwacht van de cochleoïde.
Maar het hoeft natuurlijk niet zo te zijn dat de quadratrix die bij je gevonden vergelijking hoort, precies overeenstemt met de figuur die bij de vergelijking van 'een' cochleoïde hoort.

Als je bijv. a = 1 kiest in beide vergelijkingen en een plot bekijkt, dan is te zien dat ze niet bij elkaar horen.
Voor de quadratrix vind ik trouwens vaker een iets andere vergelijking dan degene waarmee je hebt gewerkt. Dan zit er ook nog een factor p in.

Je moet alleen laten zien dat de quadratrix inderdaad correspondeert met een cochleoïde.
Als je in het gevonden eindresultaat de rol van x en van y verwisselt (waarmee de grafiek spiegelt in de lijn y = x), dan krijg je inderdaad een vergelijking van de gedaante die je verwacht had. En dan is het dus een cochleoïde.

MBL
17-11-2013