WisFaq!

Epsilondelta

Weet iemand hoe ik kan bewijzen a.d.h.v epsilon delta
dat lim x$\rightarrow$a van f(x) = L als en slechts dan als de Linker en rechterlimiet van f(x) voor x$\rightarrow$ a gelijk zijn aan L.
De stelling is logisch maar ik weet niet goed hoe ik het moet aantonen.
Alvast bedankt

stijn
12-11-2013

Antwoord

Hoi Stijn,

Ik denk dat je het een beetje over een definitie hebt. Een definitie is geen bewijs. Het betekent zoveel als wanneer ik de afstand tot f(x) zo klein maak als ik wil E$>$0 dan is er altijd een afstand 0$<$(x-a)$<$d zodat de afstand tot f(x)$<$E, Indien dit waar is dan is de limiet l voor x$\rightarrow$a. Hieronder wat officieler geformuleerd. Het moet dus van beide kanten afkomen anders is het niet de limiet, maar slecht de limiet van 1 kant.

$
\left\{ \begin{array}{l}
\forall _{E > 0} \exists _{d > 0} \to a - d < x < a \Rightarrow \left| {f(x) - L < E} \right| \\
\forall _{E > 0} \exists _{d > 0} \to a < x < a + d \Rightarrow \left| {f(x) - L < E} \right| \\
\end{array} \right\}\forall _{E > 0} \exists _{d > 0} \to 0 < \left| {x - a} \right| < d \Rightarrow \left| {f(x) - L < E} \right|
$

voorbeeld: bewijs dat wanneer x$\rightarrow$3 dat f(x)=2x-1 de limiet heeft van 5.

$
\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (2x - 1) = 5 \\
\left| {x - 3} \right| < d \Rightarrow \left| {2x - 1 - L} \right| = \left| {2x - 6} \right| < E \\
d = \frac{E}{2} \Rightarrow \left| {x - 3} \right| < d = \frac{E}{2} \Rightarrow 2\left| {x - 3} \right| < 2d = E \Rightarrow \left| {2x - 6} \right| < E \\
\end{array}
$

mvg DvL

DvL
12-11-2013