WisFaq!

DV

Ik heb een vraagstuk uit een reader

Een zekere hoeveelheid voedsel bederft met een snelheid welke op elk ogenblik recht evenredig is met de wortel uit de op dat ogenblik aanwezige hoeveelheid onbedorven voedsel.
Na tien jaren is de helft van de oorspronkelijk aanwezige hoeveelheid vers voedsel bedorven.
Na hoeveel jaren is de totale hoeveelheid bedorven?

Mijn oplossing luidt als volgt: stel H is de hoeveelheid
dH/dt = k*sqrt(H0 - H)
dH/sqrt(H0 - h) = k*dt
integraal{1/sqrt(H0 - H)}dH = Integraal{k*dt}

Stel u = H0 – H du/dH = -1 (want H0 is een constante)
dH = -du
-integraal(1/sqrt(u))du = integraal k*dt

-2u^(1/2) = kt + C
-2 sqrt(H0 – H) = kt + C
sqrt(H0 – H) = C - 1/2kt
H0 - H = 1/4(kt)^2 - kCt + C^2
Op t = 0 is H0 – H = H0 = 100%
100 = 1/4k^2*0^2 + Ck * 0 + C^2
C^2 = 100 --$>$ C = 10

H0 – H = 1/4kt^2 - 10kt + 100

H(10) = H0 = 50%
H(10) = 1/4*k*10^2 - 10kt + 100
50 = 25k^2 - 100k + 100
0 = 25k^2 - 100k + 50
5k^2 - 20k + 10 = 0

deze 2e graads vergelijking heeft als oplossingen k = 2 +/- sqrt(2)

dit antwoord voor k leidt niet naar het gegeven antwoord

namelijk 20 + sqrt(10) ongeveer 34,14 jaren

ik kan de fout niet vinden kun u mij misschien helpen

Rob Wolma
8-11-2013

Antwoord

De juiste $k$ is $2-\sqrt2$; dat zie je beter door niet te kwadrateren: $\sqrt{H_0-H}=C-\frac12kt$; na $t=0$ en $t=10$ invullen volgt meteen $k=2-\sqrt2$.
Dan volgt de juiste $t$ na $H=H_0$ stellen: $t=2C/k$. Nu uitwerken:
$$
\frac{2C}k=\frac{20}{2-\sqrt2}=10(2+\sqrt2)
$$

kphart
8-11-2013