WisFaq!

Spoorweg bus en oase

Goede avond,
In een woestijn ligt een rechtlijnige spoorweg. Langs de spoorweg ligt een stad. Op 130 km van deze stad en op 50 km van de spoorweg ligt een oase. Men wil een station bouwen en een autobusverbinding oase-station. Treinen rijden gemiddeld 100 km per uur, de bussen 60 km per uur..
Waar moet het station gebouwd worden om de verbinding tussen oase en stad zo snel mogelijk te laten verlopen?

Ik teken een rechthoekige driehoek ABC met A als rechte hoek.
AB stelt de spoorweg voor en in punt D$\bot$AB tussen A en B komt er een station..In C ligt de oase en AC=50 km.In punt B ligt de stad en BC=130 km.
IK ,reken:
AB=√(130²-50²)=120 km
Ik noem BD =x en AD=120-x.
CD=√(50²+(120-x)²)=√
CD=√2500+14400-240x+x²)
CD=√(16900-240x+x²)
CD is buslijn en BD het treintraject
F(x)= BD/100+CD/60
F(x)=x/100+(√(16900-240x+x²)/60
F'(x)= 1/100+1/60·((-240+2x))/2√(16900-240x+x²)
F'(x)= 1/100+1/60(-120+x)/√(16900-240x+x²)
F'(x)= (60·√(16900-240x+x²)+100(-120+x))/
√(16900-240x+x²)
F'(x)=0 voor teller =0
F'(x)= 60√(16900-240x+x²)-12000+100x=0
F'(x)= 36(16900-240x+x²)= (1200-10x)²
(gedeeld door 10 in beide leden
en kwadrateren van beide leden
608400-8640x+36x²=1440000-24000x+100x²
64x²-15360x+831600=0
x₁,2=7680±(√7680²-64·831600)/64
x₁=157,5 en x₂=82.5
Tekenonderzoek geeft maximum aan voor x=82,5
Afstand BD is 82,5 km , daar waar het station gebouwd wordt.
Klopt de redenering volledig. Dat bzou me plezieren !
Groeten

Rik Lemmens
7-11-2013

Antwoord

Jawel, dit klopt.
157,5 is een valse oplossing die is ontstaan door het kwadrateren.
De enige oplossing is inderdaad x = 82,5

LL
8-11-2013