WisFaq!

Lineaire afbeelding

Ik weet niet zo goed hoe ik bij deze vraag moet beginnen.
De ruimte R² wordt met het complexe vlak C geïdentificeerd door vectoren (x,y) uit R² gelijk te stellen aan complexe getallen z=x+iy. Laat c=a+ib een vast complex getal zijn.
a. De afbeelding l1: C -$>$ C gegeven door l1(z)=cz, correspondeert met een lineaire afbeelding L1: R² -$>$ R². Bereken de matrix L1.

b. Laat L4(x)=(a₁1 a₁2
a₂1 a₂2) · x zijn. Vind complexe getallen c,d in C zondanig dat L4 correspondeert met l4(z)=cz+dz(met een streep).
Kan u misschien een beetje helpen?

Sara
28-9-2013

Antwoord

Beste Sara,

a. De afbeelding l1 stuurt z naar cz, en je kan dus iets gelijkaardigs doen in R² door die identificatie tussen C en R² te gebruiken. Als z naar cz wordt gestuurd, zal (x,y) naar een zekere (p,q) worden gestuurd. Nu kun je twee dingen doen:
1) Je probeert uit de zoeken wat die (p,q) precies is (door middel van l1 en de identificatie tussen C en R²). Dan ken je de functie L1 en kan je dus die matrix bepalen.
2) Of je gebruikt het feit dat je om de matrix L1 te bepalen, enkel de beelden van de basisvectoren (1,0) en (0,1) nodig hebt. Vermits (1,0) overeenkomt met het complexe getal 1 en (0,1) met het complexe getal i, zal je waarschijnlijk wel kunnen uitrekenen naar welk complexe getallen die worden gestuurd (let op dat je hier niet c gebruikt maar a+ib, om van de uitkomst het reële en het imaginaire deel afzonderlijk te kunnen kennen), en die uitkomst kan je dan weer omzetten in een element van R².

b. Stel $z = z_1+iz_2$, $c = c_1+ic_2$ en $d=d_1+id_2$. Dan bereken je twee dingen:
1) $l_4(z) = cz+d\bar{z} = (c_1+ic_2)(z_1+iz_2)+(d_1+id_2)(z_1-iz_2) = \ldots$
2) $L_4(z_1,z_2) = (a_{11}z_1+a_{12}z_2, a_{21}z_1+a_{22}z_2)$
En nu moet je zorgen dat het complexe getal dat je uitkomt bij 1) overeenkomt met het koppel reële getallen dat je uitkomt in 2). Daarvoor moet je een relatief eenvoudig stelsel oplossen.

Geraak je zo verder?

Mvg

cs
29-9-2013