WisFaq!

Producttopologie

beste,
in mijn cursus topologie staat de volgende eigenschap :
$\prod A_i \textrm{ is open in } (\prod X_i, \prod T_i) \Leftrightarrow \forall i \in I: A_i \in T_i \textrm{ en } \left \{ i | A_i \neq X_i \right \}$ eindig:

nu bij het bewijs van $\rightarrow$ is er (mijn inziens) iets raar aan de hand. stel product $(A_i)$ is open dan product $(A_i)$ = unie van basiselementen van topologie dus \prod_(i in I)(A__i) = \bigcup_{i \in I, j \in J}\prod_(B_j_i) (*) maar dan kunt ge een oneindige unie van verzamelingen met eindig aantal i in I zodat $A_i$ verschillend van $X_i$, hebben. Is da dan ng eindig of niet? mijn gevoel zegt da da oneindig is, maar dan zou de stelling nt meer kloppen . Help !

(*) in mijn cursus staat als basiselementen voor producttopologie:
{$A_i$ | $A_i$ in $T_i$ en $A_i$ = $X_i$ op eindig aantal indices na} met $T_i$ topologie op $X_i$

koen
3-8-2013

Antwoord

Aangenomen dat $\prod_i A_i$ open en niet-leeg is neem dan een basis-open verzameling $\prod_i B_i$ die ook niet-leeg is met $\prod_iB_i\subseteq\prod_iA_i$. Realiseer je nu dat $B_i\subseteq A_i$ voor alle $i$, dus, als $B_i=X_i$ dan zeker $A_i=X_i$.

kphart
4-8-2013