WisFaq!

Verwachtingswaarde bij trekken zonder terugleggen

Meneer Voeten heeft zes paar schoenen, vijf zwarte paren en één bruin paar. Op de kleur na zijn de paren identiek. De 12 schoenen staan door elkaar in een kast. Meneer Voeten pakt ’s ochtends aselect twee schoenen uit de kast (zonder terugleggen).

b)Bereken de verwachtingswaarde van het aantal bruine schoenen dat meneer Voeten pakt.

ANW. correctievoorschrift: Ook bij trekken zonder terugleggen geldt E(X) = np. In dit geval geldt n = 2 en p = 2/12. Dit geeft E(X) = 2 · 2/12 = 1/3.

Mijn antwoord: 0 · 45/66 + 1 · 20/66 + 2 · 1/66 = 22/66 = 1/3

Mijn probleem: Ik snap niet hoe het kan zijn dat E(X)=n·p ook geldt voor trekken zonder terugleggen, terwijl deze formule in mijn boek gegeven wordt om van binomiale verdeling naar normale over te gaan. Bij binomiale verdeling is 'p' voor elk experiment gelijk, vandaar aantal experimenten · kans op succes (welke niet verandert).

Ik zie wel dat de uitkomsten van correctieschrift en mijn eigen gelijk zijn, ik zou het alleen graag ook willen begrijpen waarom. Bij mijn berekening heb ik alle mogelijke waarden voor X meegenomen waaronder ook bvb. 2x 'geen succes' geval (2 zwarte schoenen). Dus snap ik wat ik doe, verwachtingswaarde X (aantal bruine) bij pakken van 2 schoenen. In correctieschrift lijkt de kans 'p' voor het pakken van 1 bruine schoen (1x succes) gebruikt te zijn, snap ik tot zover. Maar als je experiment van 1 schoen pakken uitvoert zonder deze ene schoen terug te leggen, dan kan je toch niet 2 x diezelfde kans gebruiken (2/12). Toch komt er eenzelfde verwachtingswaarde uit, hoe kan dit?

Stefan
18-7-2013

Antwoord

Ik kan me voorstellen dat dit tegen je gevoel ingaat. Wellicht helpt het om dit kansexperiment in gedachten op een iets andere manier uit te voeren:

In plaats van twee schoenen, nemen we één voor één alle schoenen uit de kast en zetten deze op een rij. We bekijken hoeveel bruine schoenen er bij de eerste twee zitten. Dit is hetzelfde als de verwachtingswaarde van het aantal bruine schoenen als je er maar twee uit de kast neemt.

Je kunt bijvoorbeeld deze rijtjes krijgen:

bz | zzzbzzzzzz
zz | zzzzbzzbzz
zz | zbzzzzzzzb
bb | zzzzzzzzzz

enz.
De twee schoenen links van het verticale streepje stellen de schoenen voor die meneer Voeten pakt.

De kans op elk rijtje is gelijk. Nu is er geen enkele reden waarom op de eerste twee plaatsen naar verhouding meer of juist minder bruine schoenen zouden staan. Voor elke plek in de rij is de kans dat daar een bruine schoen staat gelijk aan 2/12. Op de eerste twee plaatsen verwacht je dus 2 × 2/12 bruine schoenen.

GHvD
19-7-2013