WisFaq!

Meervoudige integralen grenzen

Beste,

Ik zit met enkele opgaves en ik weet hoe ik het moet oplossen, maar de grenzen willen niet mee werken.

1. Bepaal het voume van het gebied begrensd door de coördinaatvlakken en de vlakken x+z= 1 en y+2z= 2. De uitkomst zou 2/3 moeten zijn.
Ik heb dit uitgewerkt en kom iets anders uit, en ik vermoed dat het aan mijn grenzen ligt.
Mijn grenzen zijn voor de z van 0 tot 1 voor y van 0 tot 2-2z en voor x van 0 tot z-1. mijn uitkomst hier ligt eigenlijk nog in de buurt. Ik kom -2/3 uit dus de kans op een rekenfout of tekenfout is groot.

2. Bepaal het volume van het gebied in het eerste octant begrensd door de coördinaatvlakken, het vlak y= 1-x en z= cos($\pi$x/2), 0$\le$x$\le$1. De uitkomst zou 4/$\pi$² moeten zijn, maar dit kom ik totaal niet uit.
Mijn grenzen zijn voor x: 0 $\to$ 1, voor y van 0$\to$ 1-x en voor z van 0$\to$ cos(x$\pi$/2). Mijn uitkomst is elke keer opnieuw verschillend ik kom zowal $\pi$ als $\pi$/2 uit.

3. Bepaal het voume van het gebied tussen de vlakken x+y+2z= 2 en 2x+2y+z= 4. De uitkomst zou hier 2 moeten zijn, maar dat kom ik helemaal niet uit.
Mijn grenzen zijn hier voor z: van (2-x-y)/2 $\to$ 4 -2x - 2y, voor y van 0 $\to$ 2 en voor x ook van 0 $\to$ 2

4. Bepaal het volume van het gebied tussen de cilinders x²+y²= 1 en x²+z²=1.
Mijn grenzen zijn: x: 0 $\to$ 1 en voor y en z -√1-x² $\to$ √1-x²
Hier zit ik vast bij het uitrekenen van de integraal.

Student
6-6-2013

Antwoord

Beste student,

1. Als x+z=1, dan is x=1-z dus x loopt niet tot aan z-1 maar tot aan 1-z; dat verklaart je tekenfout.

2. Je grenzen zijn goed, dus vermoedelijk maak je fouten bij het integreren. Denk je wel aan de substitutieregel? Let op dat het argument van de cosinus niet gewoon x is, maar $\pi x/2$. Als het niet lukt, laat je uitwerking dan even zien.

3. De twee gegeven vlakken begrenzen geen gebied in de ruimte; misschien opnieuw in het eerste octant? Maak een duidelijke schets en bekijk het xy-vlak, de projectie van het gebied op het xy-vlak is geen rechthoek maar een driehoek. Je kan x laten lopen van 0 tot 2, maar dan zal y lopen van 0 tot ... Omgekeerd kan ook: vaste grenzen voor y, maar dan variabele grenzen voor x.

4. Je grenzen zijn bijna goed, x moet van -1 tot 1 lopen; geef eventueel aan waar je precies problemen ondervindt of toon je uitwerking eens. Een begin:

$$\int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} dz\,dy\,dx = \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} 2\sqrt{1-x^2} \,dy\,dx$$
Merk op dat de integrand van x en niet van y afhangt, een primitieve is dus eenvoudig...

Gouden regel: maak een goede schets om je grenzen te bepalen.

mvg,
Tom

td
7-6-2013