WisFaq!

Eigenwaarde

Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en L:V-$\to$ V een lineaire afbeelding. Kies een willekeurige basis voor V en zij A de matrixvoorstelling van L t.o.v. die basis. Dan geldt: ß is een eigenwaarde van L $\leftrightarrow$ ß is een eigenwaarde van A.
Bewijs dit?

Nu is mijn vraag hoe ik hier juist aan moet beginnen?

Kirsten
31-5-2013

Antwoord

Ik zou met drie dingen beginnen:
1. de definitie van eigenwaarde van een lineaire afbeelding: $\lambda$ is een eigenwaarde van $L$ als een vector $x\neq0$ bestaat met $L(x) = \lambda x$.
2. De definitie van eigenwaarde van een (vierkante) matrix: $\lambda$ is een eigenwaarde van een $n\times n$-matrix $A$ als een kolomvector $y\neq0$ in $\mathbb{R}^n$ bestaat met $Ay=\lambda y$.
3. De definitie van `matrixvoorstelling ten opzichte van een basis $B$': als $y$ de coördinaatvector van $x$ ten opzichte van $B$ is dan is $Ay$ gelijk aan de coördinaatvector van $L(x)$.
Als je deze drie dingen combineert dan zul je zien dat $x$ een eigenvector van $L$ bij eigenwaarde $\lambda$ dan en slechts dan als $y$ een eigenvector van de matrix $A$ (die bij $L$ hoort) is bij eigenwaarde $\lambda$.

kphart
3-6-2013