WisFaq!

Oef Exacte Differentiaalvergelijking

Ik probeer volgende DV op te lossen: x'(t) = ^{x2(x - t)}/_{2.x³-3.x².t+x.t²}

Na controle via het criterium van Euler blijkt deze DV exact te zijn, via de hiervoor beschreven oplossingsmethode vind ik als algemene oplossing:

F(t,x) = -x³.t+0.5.x².t²+0.5.x⁴ = c

Nu wordt er ook een beginvoorwaarde x(2) = 3 opgegeven zodat de constante c kan bepaald worden. Hiervoor moet ik eerst x in functie van t kunnen schrijven en dat lukt me niet.

De gevonden algemene oplossing heb ik via Matlab uitgewerkt naar x = functie van t, dit blijkt te kloppen met de oplossing die Matlab geeft voor de DV. De algemene oplossing is dus waarschijnlijk correct (kan iemand dit bevestigen?) alleen weet ik niet hoe ze verder uit te werken zodat ik c kan vinden.

Steve Vdb
25-5-2013

Antwoord

Je impliciete oplossing is correct: $-x^3t+\frac12x^2t^2+\frac12x^4=c$. Als je nu $t=2$ en $x=3$ invult krijg je $c=9/2$. Dus, $-x^3t+\frac12x^2t^2+\frac12x^4=9/2$, deze niveaukromme van je functie $F(t,x)$ is de oploskromme van de DV die je zoekt. Als je de vergelijking met $2$ vermenigvuldigt staat er $x^4-2x^3t+x^2t^2=9$, ofwel $(x^2-xt)^2=9$. Dus $x^2-xt=3$ of $x^2-xt=-3$ (de tweede valt af omdat $x(2)=3$). Met de $abc$-formule kun je $x$ in $t$ uitdrukken.

kphart
25-5-2013