WisFaq!

Paraboloiden

Ik probeer het begrensde gebied dat wordt ingesloten door 2x²+2y²-z=0 en x²+y²+z=12 te bepalen. Hoe moet ik dit aanpakken? Zijn poolcoordinaten hier te gebruiken? Hoe moet ik dan de grenzen bepalen?

laura
23-5-2013

Antwoord

De eerste paraboloïde heeft het laagste punt in de oorsprong, de tweede heeft het hoogste punt in (0,0,12).
Het gelijkstellen van de z levert x² + y² = 4 op en dan z = 8.
De twee lichamen ontmoeten elkaar dus langs een cirkel op hoogte 8 en met straal 2.
Wanneer je nu alleen naar de eerste figuur kijkt en bijv. x = 0 neemt, dan krijg je een een dalparabool die in het YOZ-vlak ligt en die de vergelijking z = 2y² heeft.
Wanneer je deze parabool nu laat wentelen rond de z-as, dan krijg je de inhoud van het onderste stuk van het gebied. En daarvoor kun je de 'normale' integraalvorm gebruiken.
Net zoals je in de eerste kennismaking met integreren een grafiek meestal rond de x-as liet wentelen en dan met de integraal van de functie y² (van a tot b en dan vermenigvuldigen met pi) de inhoud kon bepalen, doe je nu hetzelfde met de parabool z = 12 - y²
rond de z-as met grenzen 8 t/m 12.
Ten slotte de twee inhouden optellen.

MBL
24-5-2013