WisFaq!

Torsie

Hallo wisfaq,
Stel: A is abels en Ator is de verzameling van elementen van eindige orde in A.
1) We bewijzen dat Ator een ondergroep van A is.
Alleen de eigenschap van de inverse is me nog een beetje onduidelijk:
Stel a is een torsie-element, dan bestaat er een m zodat a^m=e. Wij bewijzen dat a^-1 ook in ator zit. Neem als a^-1=e. Er geldt nu aa^-1=a^ma^-1=ee=e. Dus a^-1 zit in ator. Is dit correct bewezen?

2) Nu moeten we bewijzen dat A/Ator buiten het eenheidselement geen elementen van eindige orde bevat. Ik heb geen idee hoe te beginnen hier.

Roos
6-4-2013

Antwoord

1: Nee, "Neem als $a^{-1}=e$" is nietszeggend. Je kunt beter de gelijkheid $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ gebruiken; die geeft dat $(a^{-1})^m = (a^m)^{-1}$.
2: Neem een nevenklasse ongelijk aan $\mathop{\mathrm{Tor}}A$; die is van de vorm $a\mathop{\mathrm{Tor}}A$. Je moet nu bewijzen dat $a^n\mathop{\mathrm{Tor}}A$ nooit gelijk is aan $\mathop{\mathrm{Tor}}A$ en dat betekent dat $a^n$ nooit in $\mathop{\mathrm{Tor}}A$ zit (voor $n\neq0$).

kphart
6-4-2013