WisFaq!

Centrum en antihomomorifsmen

1)Laat zien dat het centrum Z(Sn) van Sn triviaal is voor n ongelijk aan 2. Wat is Z(S2)?
Ik kom tot zover:
Ik weet Z(S2)={s$\bot$S2: sx=xs voor alle s in S2}
Als we dan sigma in Sn pakken die niet de eenheid is, dan is er een a$\bot$1,.....n waarvoor geldt dat sigma(a)¹a. Nu hebben we Sn met n>=2. Nu dus een x bedenken..Het moet een cykel zijn dat weet ik.

2)F is een antihomomorfisme dsd f·: x$\to$f(x^-1) is een homomorfisme.
Van links naar rechts is duidelijk:
we weten f(xy)=f(y)(fx)
Er geldt f·(xy)=f((xy)^-1)=f(y^-1x^-1)=f(x^-1)f(y^-1) dus f· is homomorfisme.

Van rechts naar links snap ik niet hoe ik dat moet doen, omdat ik een beetje in de war zit met dat f· en f.

roos
31-3-2013

Antwoord

1. En nu gebruik je dat $n>2$: er is nog een $b\le n$ ongelijk aan $a$ en $\sigma(a)$. Neem voor $\tau$ de verwisseling $\bigl(b\, \sigma(a)\bigr)$; reken nu eens na wat het beeld van $a$ is onder $\sigma\tau$ en onder $\tau\sigma$.
2. Je moet kennelijk bewijzen dat $f(xy)=f(y)f(x)$. Maar er geldt toch ook dat $f(x)=f^*(x^{-1})$? Daar kun je nu gebruik van maken.

kphart
1-4-2013