WisFaq!

Ondergroepen

Ik heb een vraagje.
Als H1 en H2 ondergroepen van G zijn en stel dat G=H1 verenigd met H2. Bewijs dan dat G=H1 of G=h2. Geldt deze uitspraak ook voor G=H1 verenigd met H2 verenigd met H3.

Hoe moet ik precies beginnen?

Roos
9-3-2013

Antwoord

Zoiets gaat het best uit het ongerijmde: neem aan dat $G\neq H_1$ en $G\neq H_2$ en neem $x_1\in G\setminus H_1$ en $x_2\in G\setminus H_2$. Tot zover niets bijzonders, je hebt de aannamen gebruikt. Bewijs nu dat het product $x_1*x_2$ niet in $H_1\cup H_2$ zit. (Als je een plaatje wilt maken denk dan aan $G=\mathbb{R}^2$, waarbij $H_1$ en $H_2$ gelijk zijn aan respectievelijk de $x$- en $y$-as.)
Voor een tegenvoorbeeld bij drie ondergroepen zou je aan de Viergroep van Klein kunnen denken.

kphart
9-3-2013