WisFaq!

Rechthoek en gelijkbenige driehoek

Hoi, ik heb twee vragen, waarop ik graag een antwoorden wil hebben, de eerste vind ik moeilijker, ben nu al nog steeds bezig met de tweede. graag uw help oke?
1.ABCD is een rechhoek, en M in het vlak,
toon aan MA²+MC² = MB²+MD²

2.ABC een gelijkbenige driehoek in A, AB= 5 en BC=8
bereken de straal van de ingeschreven cirkel.

montas
26-1-2003

Antwoord

Vraag 1
Een eenvoudige manier om dit soort dingen te bewijzen, is vectorrekenen.
Neem a=0, en c=b+d. We hebben dat b.d=0 (want: loodrecht op elkaar).

We moeten bewijzen dat ma²+mc²=mb²+md²
of
(a-m)²+(c-m)²=(b-m)²+(d-m)²
of
(a-m)²+(c-m)²=(b-m)²+(d-m)²
a²-2.a.m+m²+ c²-2.c.m+m²= b²-2.b.m+m²+d²-2.d.m+m²
of
met a=0 en c=b+d:
(b+d)²-2.(b+d).m= b²-2.b.m+d²-2.d.m
Rekening houdend met b.d=0, kan je eenvoudig narekenen dat dit inderdaad klopt.

Vraag 2
Als m het middelpunt is van de ingeschreven cirkel en r de straal, dan kunnen we driehoek abc zien als de samenstelling van 3 driehoeken abm, bcm en cam.
Dus: opp(abc)=opp(abm)+opp(bcm)+opp(cam), zodat opp(abc)=|ab|.r/2+|bc|.r/2+|ca|.r/2 en dus: r=2.opp(abc)/(|ab|+|bc|+|ca|)=2.opp(abc)/omtrek(abc).

De omtrek bereken je zo. De hoogte van de driehoek bereken je makkelijk met Pythogoras (h²=5²-4²), en daarmee heb je dan de oppervlakte.

Groetjes,
Johan

andros
27-1-2003