WisFaq!

Omwentelingslichaam

Ik heb de vergelijking f(x)=x⁴ op de inteval [0,2].
IK moet de inhoed bepalen van het omwentelingslichaam om de x-as.

Ikheb hem dusdanig vereenvoudigd dat ie op dit moment er als volgt uit ziet:
· 2 integraalteken 0 (onder) x⁸ dx
Hoe nu verder?
En wat als ik hem om de y-as wil laten wentelen?

Alvast bedankt

Coen

Coen
23-1-2003

Antwoord

Hoi,

Het basisprincipe is om een volume in elementaire schilletjes te verdelen met een eenvoudige vorm. Als je wentelt om de X-as, dan snijden vlakken loodrecht op de X-as cirkelvormige schilletjes af. Hetzelfde met wentelen om de Y-as: daar snij je met vlakjes loodrecht op de Y-as om cirkeldoorsneden te krijgen.
In het eerste geval wentelen we dus om de X-as. We snijden met vlakken loodrecht op de X-as. We kiezen vlakken tussen x=0 en x=2 die telkens een afstand dx vaneen liggen. We verdelen zo het lichaam in een aantal cilindertjes.
Tussen de vlakken x=x₀ en x=x₀+dx hebben we een cilindertje met hoogte dx en straal van het grondvlak f(x)=x⁴. Het volume is dus p(f(x))².dx.
Het totaal volume bereken je door al deze cilindertjes op te tellen. In de limiet, voor heel kleine dx, krijgen we dan V=int(p(f(x))²,0,2)= p.int(x⁸,0,2)=…
Als je om de Y-as wentelt, dan kan je best de functie inverteren het hetzelfde principe toepassen. Je functie is dan y=x^1/4 en het interval [0,2^1/4]. Nu raak je er wel...

Groetjes,
Johan

andros
24-1-2003