WisFaq!

Vectorieel product inproduct

Bewijs dat voor alle a,b,c element van ³ dat

a x (b x c) = $<$a,c$>$ · b - $<$a,b$>$ · c

a x (b x c) = (a₁,a₂,a₃) x (b₂c₃-b₃c₂, b₃c₁-b₁c₃, b₁c₂-b₂c₁)

= (a₂b₁c₂-a₂b₂c₁-a₃b₃c₁+a₃b₁c₃, a₃b₂c₃-a₃b₃c₂-a₁b₁c₂+a₁b₂c₁, a₁b₃c₁-a₁b₁c₃-a₂b₂c₃+a₂b₃c₂)

$<$a,c$>$ · b - $<$a,b$>$ · c = (a₁c₁+a₂c₂+a₃c₃)·b - (a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)·c

Hier zit ik vast, ik zie niet hoe dit aan mekaar kan gelijk zijn?

Anon
1-11-2012

Antwoord

En je bent er bijna!
Je hebt het product a·(b·c) helemaal correct uitgewerkt.

Kijk nu eens naar het stukje (a₁c₁+a₂c₂+a₃c₃)·b aan het eind van je verhaal.
Wat tussen de haakjes staat, is een getal (dus géén vector!).
Vector b wordt met dit getal vermenigvuldigd, wat betekent dat elk van de 3 kentallen ermee wordt vermenigvuldigd.
Dat levert dus op (en misschien schrijf je het liever in kolomvorm):
(a₁b₁c₁ + a₂b₁c₂ + a₃b₁c₃,a₁b₂c₁ + a₂b₂c₂ + a₃b₂c₃,a₁b₃c₁ + a₂b₃c₂ + a₃b₃c₃).

Op precies dezelfde manier schrijf je $<$a,b$>$·c uit en dan trek je die twee resultaten van elkaar af.
Je zult zien dat je dan precies het zelfde overhoudt als bij a·(b·c).

MBL
1-11-2012