WisFaq!

Extrema bepalen en buigpunten

Beste,

Ik heb hier een vakantietaak voor wiskunde gekregen. Ik ga naar het 6de jaar Wetenschap-Wiskunde.
En tot nu toe verliep mijn taak goed, totdat ik deze vraag tegenkwam:

Toon aan dat als de functie f(x)=ax³+bx²+cx+d twee extrema heeft ze een buigpunt heeft dat het middelpunt is van het lijnstuk gevormd door de twee extrema.

Ik heb totaaal geen idee hoe ik hieraan moet beginnen, kunnen jullie mij helpen aub?

Mvg

Oussama
30-8-2012

Antwoord

f'(x)=3ax²+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
f''(x)=0 oplossen levert x=-b/(3a)
Aangezien f''(x) van teken wisselt voor x=-b/(3a) heeft f een buigpunt voor x=-b/(3a)
Het is nu voldoende aan te tonen dat f(x) symmetrisch is in zijn buigpunt.
Immers veronderstel dat f twee extremen heeft (meer kan niet) dan moeten deze extremen tengevolge van de (nog te bewijzen) symmetrie voldoen aan het gestelde.
Noem nu u=-b/(3a).
De symmetrie kun je nu aantonen door te bewijzen dat
f(u-t)+f(u+t)=2·f(u).

hk
30-8-2012