WisFaq!

Vraagstuk procentuele toename en afname

Hallo

Met de vakantie ben ik de meeste vergeten over exponentiele groei en daardoor weet ik deze vraagstuk niet op te lossen.

Een experiment start met een plantje dat 30 cm² groot is en een oppvl.toename kent van 8% per week. Op het ogenblik dat de oppervlakte verdubbeld is, wordt er (genetisch) ingegrepen zadat er vanaf dit ogenblik een oppervlakte-afname gebeurt van 6% per 2 weken. Het experiment stopt op het ogenblik dat het plantje nog 20 cm² groot is. Hoelang duurt het ganse experiment?

Hopelijk is er iemand die me hierbij wil helpen. Hartelijk dank!

Lola
23-8-2012

Antwoord

De groeifactor per week is 1,08. De beginwaarde is 30 cm². Een passende formule voor deze exponentiele groei is:

O=30·1,08^t met O in cm² en t in weken.

Als O=60 dan krijg je een ingreep met exponentiele afname.
1,08^t=2 geeft t$\approx$9 weken.

Vanaf t=9 geldt O=60·0,9695359714^t-9 en de vraag is dan voor welke t geldt:

60·0,9695359714^t-9$\leq$20

Oplossen geeft je totale duur van het experiment in weken.

PS
Een groeifactor van 0,94 per twee weken komt overeen met een groeifactor van $\sqrt{0,94}\approx0,9695359714$ per week.

Zie Rekenen met procenten en groeifactoren

$
\begin{array}{l}
60 \times 0,9695359714^{t - 9} = 20 \\
0,9695359714^{t - 9} = 0,3333333333 \\
\log (0,9695359714^{t - 9} ) = \log (0,3333333333) \\
\left( {t - 9} \right) \cdot \log (0,9695359714) = \log (0,3333333333) \\
t - 9 = \frac{{\log (0,3333333333)}}{{\log (0,9695359714)}} \approx 35,51046854 \\
{\rm{t}} \approx {\rm{44}}{\rm{,5}} \\
\end{array}
$

Dus zeg maar: na 45 weken.
Veel succes met de rest.

WvR
23-8-2012