WisFaq!

Verzamelen van plaatjes: hoeveel pakjes kopen voor je ze allemaal hebt?

Als je per pakje kauwgum 1 plaatje krijgt en er zijn 10 verschillende plaatjes. Hoeveel pakjes kauwgum moet ik dan gemiddeld kopen om alle plaatjes te verzamelen?

yoeray
20-1-2003

Antwoord

Hoi,

Laten we aannemen dat er n verschillende plaatjes zijn en dat ze allemaal even waarschijnlijk zijn. Er zit één plaatje per pakje kauwgum. We berekenen het gemiddelde aantal pakjes dat we moeten kopen om n verschillende plaatjes te hebben.

We veronderstellen dat we na een aantal trekkingen i verschillende plaatjes hebben. Het aantal pakjes kauwgum dat we dan nog moeten kopen, noteren we met k(i).

Als we n verschillende plaatjes hebben, dan moeten we geen pakjes kauwgum meer bijkopen, dus: k(n)=0. We zoeken hoeveel pakjes kauwgum we moeten kopen, wanneer we beginnen met een collectie van 0 plaatjes. Dus eigenlijk zoeken we k(0).

Wanneer we 1 pakje kauwgum kopen, dan hebben we:
ofwel een nieuw plaatje (met een kans (n-i)/n), ofwel een plaatje dat we al hadden (met een kans i/n). In het eerste geval hebben we een collectie van i+1 plaatjes vinden en moeten we k(i+1) pakjes kauwgum kopen om de collectie volledig te maken. In het tweede geval moeten we nog i plaatjes vinden en nog k(i) pakjes kauwgum kopen.

Dus: k(i)=1+(n-i)/n.k(i+1)+i/n.k(i) of k(i)= k(i+1)+n/(n-i).
We hebben k(n)=0, dus k(0)=n/1+n/2+..+n/n=n.(1+1/2+..+1/n).

Voor n=10 vinden we dat we ongeveer 30 pakjes kauwgum moeten kopen.

Groetjes,
Johan

andros
22-1-2003