WisFaq!

Commutativiteit tussen integratie en partieel afgeleide

Ik vraag mij af als de 2 operatoren:
1)gradient van een functie
2)de integraal naar één van de veranderlijke van die functie
Commutatief zijn met elkaar. Volgens mij slaat dit terug op te commutativiteit tussen de integratie van een functie en de partieel afgeleide van die functie.

Symbolisch vraag ik mij dus af als volgende identiteit geldt:
f=f(x,y,z)
Grad( Int(f,z=a..b) ) = Int( Grad(f), z=a..b )

Is er overigens een manier om dit aan te tonen of is het een theorema?

Dank bij voorbaat

Vandewaerde David
24-3-2012

Antwoord

Strikt genomen klopt dit niet.
Links: Int(f(x,y,z),z=a..b) levert een functie van x en y; de gradiënt darvan heeft twee coördinaten.
Rechts: de gradiënt van f heeft drie coördinaten; als je die elk naar z integreert krijg je nog steeds een vector met drie coördinaten.
De reden is dat je vaste grenzen voor z neemt.
Als je onbepaalde integralen neemt, Int(f(x,y,z),z) dus, kun je wel iets zeggen: de formule klopt op integratieconstanten na. Zie de link voor meer informatie.

Zie differentieren onder het integraalteken [http://en.wikipedia.org/wiki/Differentiation_under_the_integral_sign]

kphart
1-4-2012