WisFaq!

Gelijkmatige convergentie

Un (x) = Xⁿ op [0; 1]
voor gelijkmatige convergentie geldt deze formule
lim (n-$>$oneindig) sup |Un(x) - U(x) | = 0
Maar de betekenis van Un(x) en U(x) is onduidelijk?

Michiel
7-1-2012

Antwoord

Beste Michiel,

De betekenis van U_n(x) heb je zelf gegeven, dat is de rij functies:

U_n(x) = xⁿ voor x in [0,1]

De functie U(x) is in deze context de limietfunctie, waarvan het dan nog de vraag is of deze convergentie wel gelijkmatig is.

De rij functies convergeert in elk geval puntsgewijs naar

U(x) = 0 voor 0x1 en U(x) = 1 voor x = 1

aangezien xⁿ naar 0 convergeert voor |x|1 en 1ⁿ uiteraard 1 is.

Deze convergentie is echter niet gelijkmatig; je kan nagaan dat het supremum voor elke n gelijk is aan 1, zodat de limiet niet 0 is.

Je hebt misschien ook al gezien dat continuïteit bewaard wordt bij gelijkmatige convergentie; hier is U_n(x) continu voor alle n maar U(x) is niet continu (met name niet in x = 1).

mvg,
Tom

td
12-1-2012