WisFaq!

Differentiaal vergelijking oplossen met scheiding van verandelijken

Hallo,

Kan iemand mij wat helpen met deze opgave:

Het besmettelijke MA-TH_REA_K-virus :), verspreidt zich onder studenten met een snelheid die evenredig is met het PRODUCT van het aantal besmette met het aantal nog)niet besmette studenten. In het begin is de helft van de studenten besmet en is de verspreidingssnelheid zo groot dat, moest deze snelheid constant blijven, alle studenten besmet zouden zijn na 24 dagen. Welk percentage zal er besmet zijn na 12 dagen? (neem aan dat besmet aantal studenten een continue variabele is) antw: 73%

Ik had eerst dB/dt = Besmet· niet besmet gedaan.
dB/dt = B · (1-B) , maar ik weet niet of dat eigenlijk wel mag. dan heb ik ze van plaats verandert :
dB/(B-B²) = Dt ...
Wanneer ik dit uitwerkte en erna mijn waarden invoerde kwam ik een valse vergelijking uit.

ik heb het ook eens anders geprobeerd
vermits het aantal besmette steeds groterzal worden heb ik dB/dt = K· Besmette personen en als ik het zou uitwerkte, na logaritmen en e-machten kwam ik uiteindelijk op 71% .

Wat is de juiste manier, en hoe moet je dat product schrijven, zodat je als antwoordt 73% uitkomt?


Mvg,

Nick

Nick
28-12-2011

Antwoord

De DV is van de vorm B'=a·B·(1-B) (B is de fractie besmette studenten; als je B het aantal wilt laten zijn krijg je B'=a·B(M-B), met M de totale populatie).
Er geldt B(0)=¹/₂, dus B'(0)=^a/₄.
Het gegeven van de 24 dagen zegt dat de lineaire functie y=¹/₂+^a/₄·t voor t=24 de waarde 1 aanneemt; daaruit volgt dat 6·a=¹/₂ en dus a=¹/₁₂.
Nu is de DV rechttoe-rechtaan op te lossen en bij invullen van t=12 zul je zien dat de fractie besmette studenten gelijk is aan e/(1+e).

kphart
31-12-2011