WisFaq!

Re: Notatie differentiaalvergelijking

Hallo Anneke, bedankt voor je reactie. Ik heb geprobeerd wat je zei. In het eerste gedeelte krijg ik r₁=1 en r₂=(-2)^k met k=2,3,4,...,n.

Als ik y_kvervang door a·k² + b·k + c krijg ik als antwoord 6ak-7a+3b=k². Als ik nu hetzelfde doe voor k=k+1 en voor k=k+2 dan krijg ik 6ak-a+3b=(k+1)² resp. 6ak+5a+3b=(k+2)². Dan probeer ik hiermee a uit te rekenen alleen krijg ik als antwoorden a=¹/₃k+¹/₆, a=¹/₃k+²/₆ en a=¹/₃k+³/₆. Ik zie niet waar het nu fout gaat. Zou je me misschien nog verder op weg kunnen helpen?

John
17-12-2011

Antwoord

dag John,

sorry, ik had de opgave niet kritisch genoeg bekeken.
In dit geval, omdat r=1 een onderdeel is van de homogene oplossing, is het niet voldoende om voor de standaard een tweedegraadsvorm te kiezen.
Je hebt nu een derdegraadsvorm nodig.
dus: y_k=a·k³ + b·k² + c·k
Vervolgens moet je in de oorspronkelijke vergelijking y_k, y_k-1 en y_k-2 invullen.
Veeg in het linkerlid van deze vergelijking alle termen met k³ bij elkaar: dat wordt 0, en dat is mooi.
Veeg ook alle termen met k² bij elkaar. De coëfficiënt hiervan is een uitdrukking met a erin. Deze coëfficiënt moet gelijk zijn aan 1, omdat dat ook de coëfficiënt in het rechterlid is. Dit geeft een oplossing voor a.
Veeg dan de termen met k bij elkaar. De coëfficiënt hiervan is een uitdrukking met a en b. Deze coëfficiënt moet gelijk zijn aan 0, omdat dat er in het rechterlid geen term met k is. Dit geeft een oplossing voor b.
Veeg dan de constante termen bij elkaar. Dit is een uitdrukking met a, b en c erin. Dit moet ook gelijk zijn aan 0, omdat dat er in het rechterlid geen constante term is. Dit geeft een vergelijking in a, b en c.
Hieruit kun je c nu oplossen.
Lukt dat?
Succes,

Anneke
19-12-2011