WisFaq!

Rationale en irrationale functies

Gegeven:

$
\eqalign{f(x) = \frac{{ax^3 + bx^2 + cx + d}}
{{x^2 + ex}}}
$

Vraag: bepaal a,b,c,d en e zodat de grafiek van f de rechten y=3 en x=2 als asymptoten heeft en een opening heeft in het punt P(0,6).

Marie
1-11-2011

Antwoord

Hallo Marie,

Ik geef je enkele tips:

• Een verticale asymptoot vind je bij een waarde van x waarbij je probeert door nul te delen. Jouw functie heeft een verticale asymptoot bij x=2. Welke waarde moet e hebben zodat je bij x=2 door nul zou delen?
  
• Laten we bekijken wat er gebeurt bij heel grote waarden van x: in de noemer is dan eigenlijk alleen x² nog van belang, omdat dit heel veel groter wordt dan ex. In de teller is dan alleen ax³ belangrijk. Voor grote waarden van x wordt jouw functie dus 'ongeveer' ax³/x², dus ax. Bij heel grote waarden van x zou dit oneindig groot worden. Maar: ax mag helemaal niet groot worden, want y=3 is een horizontale asymptoot. Welke waarde van a zorgt ervoor dat a.x nul wordt bij elke (dus ook grote) waarden van x?
  
• Je bent nu van a af. Voor grote waarden van x wordt jouw functie 'ongeveer' bx²/x². Omdat y=3 een horizontale asymptoot is, moet voor grote waarden van x gelden: bx²/x² = 3. Welke waarde van b volgt hieruit?
  
• Een opening of perforatie vind je wanneer je nul probeert te delen door nul. Voor jouw funtie geldt dus: bij x=0 moeten zowel teller als noemer nul zijn. Welke waarde voor d volgt hieruit?
  
• Tot slot de y-coördinaat van de opening. Omdat bij x=0 zowel de teller als noemer nul zijn, kan je in de teller en noemer x buiten haakjes halen. Je krijgt dus iets als:
  
  y = x(.....) / x(......)
  
  De x in teller en noemer deel je weg, je houdt over:
  
  y = (.....) / (......)
  
  Het probleem van 'nul delen door nul' is nu opgelost. Je moet er nu voor zorgen dat y=6 wanneer je x=0 invult. Welke waarde van c volgt hieruit?

Ik ben benieuwd of het zo lukt. Wanneer je er niet uitkomt, mag je gerust weer een vraag stellen, maar: geef dan wel aan wat je hebt geprobeerd, wat er wel lukt en waar je vastloopt. Dan kan ik je gerichter helpen. Succes!

GHvD
1-11-2011