WisFaq!

Oneigenlijke integralen

Hallo,

Ik zou de integraal van - oneindig tot + oneindig moeten berekenen van xe^-x2.
Ik weet dat je dan de limiet t$\to$-$\infty$ van de integraal moet nemen en de limiet t$\to$+$\infty$. Maar wat zijn dan de grenzen?

danku,

Feline

feline
13-10-2011

Antwoord

Het gaat om f(x) = x.e^-x2
Als je de grafiek van de functie bekijkt, dan zie je dat deze puntsymetrie vertoont t.o.v. de oorsprong en dat de x-as als horizontale asymptoot optreedt. Als je dus integreert van bijv. -5 tot 0 en daarna van 0 tot 5, dan krijg je precies tegengestelde waarden.
Dus?

Je hebt in dit(!) geval de primitieve dus helemaal niet nodig om je antwoord te kunnen geven, maar op zich is de primitieve eenvoudig te bepalen. Dat zou je kunnen doen met de substitutiemethode. Stel bijv -x² = z
Als je het netjes wilt doen, neem dan twee eindige integratiegrenzen a<0 en b>0 en bepaal vervolgens de primitieve. Bereken dan de limieten als a resp. b naar -/+ oneindig gaan. Het hangt er nu vanaf of deze limieten bestaan, en in jouw functie is dat allemaal probleemloos.
Maar functies als f(x) = x of f(x) = x³ hebben ook puntsymetrische grafieken t.o.v. de oorsprong, maar de limieten van hun primitieven als je naar -/+ oneindig gaat, bestaan niet.

MBL
13-10-2011