WisFaq!

Isometrie F is een samenstelling

Ik moet als één van het volgende bewijzen:
Iedere isometrie F is een samenstelling F = T na M van een orthogonale isometrie M met een translatie T.
Kunnen jullie hierbij helpen?

Alvast bedankt!

Floor Zwart
12-9-2011

Antwoord

Ik neem aan dat men met een isometrie bedoelt een affiene afbeelding (samenstelling van lineaire afbeelding en translatie) die de afstand tussen vectoren bewaart (en dus ook de lengte van vectoren).

Stel F(0,0) = (p,q).
Laat T de translatie zijn met T(x,y) := (x,y) + (p,q), zodat T^-1(x,y) = (x,y) - (p,q).
Stel M := T^-1oF, zodat F=ToM en M(0,0) = T^-1(F(0,0)) = T^-1(p,q) = (0,0).

Dus M is een lineaire afbeelding die de lengte van vectoren bewaart.
Stel M(x,y) = (ax+by,cx+dy).
Omdat M de lengte van vectoren bewaart is
(ax+by)²+(cx+dy)² = x²+y² voor alle x en y.
Ga zelf na dat hieruit volgt: a²+b² = c²+d² = 1 en ab = cd = 0, dus de matrix van M is orthogonaal.

hr
7-10-2011