WisFaq!

Integralen en berekenen van primitieven

hoi ik heb vragen ivm met volgende oefeningen

1)
bereken volgende integralen:

Integraal met bovengrens 3 en ondergrens 0
|x² -3x +2| dx

ik heb eerst nulpunten gezocht
Discriminant=1
2 nulpunten gevonden (1 en 2)

verder als volgt proberen uit te werken
Integraal:
[(x³/3) -(3x²/2) +2x] ondergrens 1 en bovengrens 2

De uitkomst zou 11/6 moeten bedragen, maar daar geraak ik niet aan.
mss moet het op andere manier berekend worden

2) volgende oef die ik ook niet kan is

integraal met ondergrens 0 en bovengrens 2
(|x|+|1-x|)dx


3)
integraal (3x+5) Ö3X+4 dx
heb het als volgt opgelost
stel 3x+4=t zodat 3dx=dt of dx= dt/3

dan is integraal (3x+5 Ö3x+4 dx = integraal 1/3 dt .Öt
= 1/3 t^(3/2)/3/2 dt
= (2/9)(3x+4)^(3/2) + C

echter blijk ik telkens maar een deel van de oplossing te hebben,
andere deel van de oplossing zou moeten uitkomen op
(2/15)Ö(3x+4)^5

mvg,

Brandon
3-6-2011

Antwoord

Een functie die tussen absoluut-strepen staat, moet je altijd opsplitsen.
Om bij de eerste functie te beginnen:
f(x)=|x²-3x+2| : wat binnen de absoluutstrepen staat, is een dalparabool, die voor een stukje onder de x-as terecht komt. Dit stukje ligt, zoals jij al aangaf, tussen x=1 en x=2.

Dit betekent dat f(x) te schrijven is, zonder absoluutstrepen:

f(x)=x²-3x+2 voor x1 en x2;
f(x)=-x²+3x-2 voor 1x2

De integraal op het interval [0,3] moet dus ook in 3 stukken opgedeeld worden:
₀ò¹(x²-3x+2)dx + ₁ò²(-x²+3x-2)dx + ₂ò³(x²-3x+2)dx

bij b. Daar heb je eveneens met absoluutstrepen te maken dus ook hier moet je de functie in fragmenten zien te schrijven zonder absoluutstrepen:

Nu is |x| te schrijven als x, voor x0. en -x, voor x0
En |1-x| is te schrijven als 1-x, voor x1. En als x-1 voor x1
Dus hoe is |x|+|1-x| te schrijven zònder absoluutstrepen?
Als 3 stukken:
a. -x+(1-x) voor x0. (ofwel -2x+1)
b. x+(1-x) voor 0x1. (ofwel 1)
c x+(x-1) voor x1 (ofwel 2x-1)
Dat betekent dus voor de totale integraal over interval [0,2], dat je dat moet schrijven als 2 integralen. Eentje voor het stukje [0,1] en eentje voor het gedeelte [1,2]

3. stel 3x+4=t dan is 3dx=dt Þ dx=dt/3
dus ò(3x+5)Ö(3x+4)dx = ò(t+1)Öt.dt/3
= ¹/₃òtÖt.dt + ¹/₃òÖt.dt
= ¹/₃òt^3/2dt + ¹/₃òt^1/2.dt = ...

Zou je t vanaf hier weer zelf verder kunnen?

groeten,
martijn

mg
4-6-2011