WisFaq!

Inhoud van een omwentellingsoppervlak

Tijdens het leren voor mijn examen analyse krijg ik volgende vraag maar niet opgelost: bereken de inhoud van het lichaam dat ontstaat door wenteling van het vlakdeel dat begrensd wordt door volgende kromme:

-één boog van de cycloïde met voorschrift:

• x=3(t-sint)
• y=3(1-cost)

-de x- as

Deze figuur wordt gewenteld om de x-as

Kunnen jullie mij helpen?
Groeten Nick

Nick Van Hoof
30-5-2011

Antwoord

I.h.a. is het volume van een omwentelingslichaam om de x-as te schrijven als:

V = $\pi\int{}$y².dx
Nu zijn x en y beide functies van t:
x=3(t-sint) en y=3(1-cost)
De grafiek van deze parameterkromme x=x(t) en y=y(t) vormt allemaal boogjes die met hun pootjes rusten op de x-as. Het eerste pootje is op t=0, dan is y namelijk 0. De éérstvolgende keer dat y weer nul is, is op t=2$\pi$.
Dus tussen t=0 en t=2$\pi$ wordt één boogje gevormd. Deze boog laten we om de x-as wentelen en daar moeten we het volume van bepalen.

Het volume is dus:
V = $\pi\int{}$y².dx = $\pi\int{}$3².(1-cost)².d(3(t-sint))
= 27$\pi\int{}$(1-cost)².d(t-sint) met integratiegrenzen t=0 en t=2$\pi$

omdat d(t-sint)/dt = 1-cost, is d(t-sint) = (1-cost)dt, dit substitueren we:

V = 27$\pi\int{}$(1-cost)³.dt

Zou je het vanaf hier eerst weer eens zèlf verder kunnen proberen?

groeten

martijn

mg
30-5-2011